SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES DEL TIPO 2 POR 2 POR DETERMINANTES (PARTE 04)

 

Sistemas de Ecuaciones Lineales 2x2 por Determinantes (Método de Cramer)

El método de Cramer es una técnica algebraica para resolver sistemas de ecuaciones lineales 2x2 utilizando determinantes. Este método se basa en la idea de que un sistema de ecuaciones tiene solución si y solo si el determinante del sistema no es cero.

Pasos para resolver un sistema de ecuaciones lineales 2x2 por determinantes:

1. Escribir el sistema de ecuaciones en forma matricial: Expresar el sistema de ecuaciones como una matriz de coeficientes (A) y una matriz de vectores de resultados (b):

[a11 a12]   [x]   =   [b1]
[a21 a22]   [y]   =   [b2]

2. Calcular el determinante de la matriz A: Determinar el valor del determinante de la matriz A (|A|).

3. Calcular el determinante de la matriz de resultados para cada variable: Sustituir cada columna de la matriz A por la columna de vectores de resultados (b) y calcular el determinante de cada nueva matriz resultante:

| b1 b2 |   |x|   =   |A1|
| a21 a22 |   |y|   =   |A2|

4. Resolver para x e y: Dividir cada determinante obtenido en el paso 3 por el determinante de la matriz A (|A|):

x = |A1| / |A|
y = |A2| / |A|

Ejemplo:

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales 2x2 por determinantes:

Ecuación 1: 2x - 3y = 7

Ecuación 2: 5x + y = -2

Solución:

1. Escribir el sistema en forma matricial:

[ 2  -3 ]   [ x ]   =   [ 7 ]
[ 5  1 ]   [ y ]   =   [-2 ]

2. Calcular el determinante de la matriz A:

|A| = (2 × 1) - (-3 × 5) = 17

3. Calcular los determinantes para x e y:

|A1| = (7 × 1) - (-3 × -2) = 13 |A2| = (2 × -2) - (-3 × 7) = -23

4. Resolver para x e y:

x = |A1| / |A| = 13 / 17 y = |A2| / |A| = -23 / 17

Solución: El sistema tiene una solución única: x = 13/17, y = -23/17.

Verificación:

Sustituimos x = 13/17 e y = -23/17 en ambas ecuaciones originales:

Ecuación 1: 2(13/17) - 3(-23/17) = 7 (correcto)

Ecuación 2: 5(13/17) + (-23/17) = -2 (correcto)

Conclusión:

El método de Cramer es una herramienta útil para resolver sistemas de ecuaciones lineales 2x2, especialmente cuando se desea obtener una expresión exacta para las soluciones. Sin embargo, este método puede ser más complejo que otros métodos como el de sustitución o el de eliminación, especialmente cuando se trabaja con números grandes o decimales.

[ 1  1 ]   [ harina ]   =   [ 5 ]
[ 2  1 ]   [ azúcar  ]   =   [-2 ]

Ejemplo Adicionales de Sistemas de Ecuaciones Lineales 2x2 Resueltos por Determinantes con Opciones Múltiples:
Ejercicio 3:
Una tienda de ropa ofrece dos descuentos: 20% por compras mayores a $50 y 30% por compras mayores a $100. Si un cliente compra dos pantalones a $40 cada uno y una camisa por $30, ¿cuánto debe pagar?
Opciones:
A) $112
B) $108
C) $104
D) $100
Respuesta Correcta: C) $104
Solución:
Ecuaciones:
Ecuación 1: 2 * precio_pantalon + precio_camisa = total (costo total de la compra)
Ecuación 2: descuento = 0.2 * total si total > 50 (descuento por compra mayor a $50)
Ecuación 3: descuento = 0.3 * total si total > 100 (descuento por compra mayor a $100)
Sistema de ecuaciones:
Ecuación 1: 2 * $40 + $30 = total
Ecuación 2: descuento = 0.2 * total si total > $50
Ecuación 3: descuento = 0.3 * total si total > $100
Resolución:
Calcular el costo total sin descuentos: total = 2 * $40 + $30 = $110
Evaluar si aplica el descuento del 20%: $110 > $50, por lo que aplica el descuento.
Calcular el descuento del 20%: descuento_20% = 0.2 * $110 = $22
Calcular el precio final con el descuento del 20%: precio_final_20% = $110 - $22 = $88
Evaluar si aplica el descuento del 30%: $110 > $100, por lo que aplica el descuento.
Calcular el descuento del 30%: descuento_30% = 0.3 * $110 = $33
Calcular el precio final con el descuento del 30%: precio_final_30% = $110 - $33 = $77
Conclusión: El precio final depende del descuento que se aplique:
Si se aplica el descuento del 20%, el precio final es de $88. (Opción B)
Si se aplica el descuento del 30%, el precio final es de $77. (Opción D)
Nota: En este caso, la respuesta correcta depende de la política de descuentos de la tienda. 
Si solo se aplica el descuento más alto (30%), la respuesta correcta sería D) $77. 
Si se aplica el primer descuento alcanzado (20%), la respuesta correcta sería B) $88.