LEYES DE RADICALES

Las leyes de los radicales son un conjunto de reglas que permiten simplificar y operar con expresiones que contienen radicales. Estas leyes se basan en las propiedades básicas de la radicación y nos permiten realizar operaciones como la multiplicación, división, potenciación y radicación de radicales de manera eficiente.

Las principales leyes de los radicales son:

1. Ley de simplificación:

• Si dentro de un radical hay un factor perfecto, este se puede sacar fuera del radical y simplificar.
• Ejemplo: √25 = √(5^2) = 5

2. Ley de producto:

• La raíz n-ésima de un producto es igual al producto de las raíces n-ésimas de cada factor.
• Ejemplo: √(ab) = √a * √b

3. Ley de cociente:

• La raíz n-ésima de un cociente es igual al cociente de las raíces n-ésimas del numerador y el denominador.
• Ejemplo: √(a/b) = √a / √b

4. Ley de potencia:

• Si elevamos un radical a una potencia, la raíz n-ésima de a elevado a la potencia m es igual a a elevado a la potencia m/n.
• Ejemplo: (√a)^m = √a^m = a^(m/n)

5. Ley de radicación de radicales:

• Si dentro de un radical hay otro radical con el mismo índice, se pueden multiplicar los índices y eliminar los radicales.
• Ejemplo: √(√a) = √a^(1/2) = a^(1/2 * 1/2) = a^(1/4)

Aplicaciones de las leyes de los radicales:

Las leyes de los radicales tienen diversas aplicaciones en matemáticas, como:

• Simplificar expresiones con radicales.
• Resolver ecuaciones y sistemas de ecuaciones con radicales.
• Operar con números complejos.
• Estudiar funciones con radicales.

EJERCICIOS:

Ley de simplificación

Ejercicio 1:

Simplifica el siguiente radical:

√49

A) 49 B) 7 C) 14 D) -7

Ejercicio 2:

Simplifica el siguiente radical:

√28

A) 2 B) 14 C) 7 D) Ninguna de las anteriores

Ejercicio 3:

Simplifica el siguiente radical:

√108

A) 6 B) 36 C) 9 D) 12

Ejercicio 4:

Simplifica el siguiente radical:

√81

A) 81 B) 9 C) 27 D) 18

Ejercicio 5:

Simplifica el siguiente radical:

√169

A) 13 B) 169 C) 26 D) 84

Ley de producto

Ejercicio 1:

Calcula el siguiente producto de radicales:

√2 * √8

A) 2√16 B) 4√2 C) √16 D) 8

Ejercicio 2:

Calcula el siguiente producto de radicales:

√3 * √12

A) 2√36 B) 6√3 C) √36 D) 12

Ejercicio 3:

Calcula el siguiente producto de radicales:

√5 * √20

A) 2√100 B) 10√5 C) √100 D) 20

Ejercicio 4:

Calcula el siguiente producto de radicales:

√7 * √14

A) 2√98 B) 7√2 C) √98 D) 14

Ejercicio 5:

Calcula el siguiente producto de radicales:

√6 * √9

A) 3√54 B) 9√6 C) √54 D) 18

Ley de cociente

Ejercicio 1:

Calcula el siguiente cociente de radicales:

√18 / √2

A) 3 B) √9 C) 6 D) √6

Ejercicio 2:

Calcula el siguiente cociente de radicales:

√27 / √3

A) 3 B) √9 C) 9 D) √27

Ejercicio 3:

Calcula el siguiente cociente de radicales:

√48 / √4

A) 4 B) √12 C) 12 D) √48

Ejercicio 4:

Calcula el siguiente cociente de radicales:

√80 / √5

A) 4 B) √16 C) 16 D) √80

Ejercicio 5:

Calcula el siguiente cociente de radicales:

√100 / √25

A) 2 B) √4 C) 4 D) √100

Ley de potencia

Ejercicio 1:

Eleva el siguiente radical a la potencia 3:

(√5)^3

A) 125 B) 15√5 C) 5^(3/2) D) √125

Ejercicio 2:

Eleva el siguiente radical a la potencia 2:

(√7)^2

A) 7 B) 14 C) 49 D) √14

Ejercicio 3:

Eleva el siguiente radical a la potencia 4:

(√3)^4

A) 81 B) 12√3 C) 3^(2/1) D) √81

Ejercicio 4:

Eleva el siguiente radical a la potencia 3:

(√6)^3

A) 216 B) 18√6 C) 6^(3/2) D) √216

Ejercicio 5:

Eleva el siguiente radical a la potencia 2:

(√9)^2

A) 81 B) 18 C) 9^(1/2) D) √81

Ley de radicación de radicales

Ejercicio 1:

Simplifica el siguiente radical:

√(√8)

A) 2 B) √2 C) 4 D) √4

Ejercicio 2:

Simplifica el siguiente radical:

√(√27)

A) 3 B) √3 C) 9 D) √9

Ejercicio 3:

Simplifica el siguiente radical:

√(√49)

A) 7 B) √7 C) 49 D) √49

Ejercicio 4:

Simplifica el siguiente radical:

√(√125)

A) 5 B) √5 C) 25 D) √25

Ejercicio 5:

Simplifica el siguiente radical:

√(√169)

A) 13 B) √13 C) 169 D) √169

Recursos adicionales:

• https://www.youtube.com/watch?v=iC4PGphtsRM
• https://es.scribd.com/document/393102325/Leyes-de-Los-Radicales
• https://www.youtube.com/watch?v=FN1km9cNt14

LEYES DE EXPONENTES

 

Leyes de los exponentes con ejemplos

Las leyes de los exponentes son un conjunto de reglas que facilitan la simplificación de expresiones matemáticas que involucran potencias. Estas reglas se basan en las propiedades de la potenciación y permiten realizar operaciones con potencias de manera eficiente y precisa.

A continuación, se presentan las principales leyes de los exponentes junto con ejemplos que se pueden copiar fácilmente a un formulario electrónico:

Ley 1: Potencia con exponente cero

Todo número con exponente cero (es decir, elevado a cero) es igual a 1, a excepción de la base cero elevada a cero, que no está definida.

Ejemplo:

• 5^0 = 1
• (-2)^0 = 1
• 0^0 (indefinido)

Ley 2: Potencia con exponente uno

Todo número con exponente 1 es igual a sí mismo.

Ejemplo:

• 7^1 = 7
• (-3)^1 = -3
• (1/2)^1 = 1/2

Ley 3: Producto de potencias con igual base

El producto de dos o más potencias con igual base es igual a la base elevada a la suma de los exponentes.

Ejemplo:

• 2^3 * 2^5 = 2^(3+5) = 2^8
• (-4)^2 * (-4)^6 = (-4)^(2+6) = (-4)^8
• (1/3)^4 * (1/3)^2 = (1/3)^(4+2) = (1/3)^6

Ley 4: Cociente de potencias con igual base

El cociente de dos potencias con igual base es igual a la base elevada a la resta de los exponentes.

Ejemplo:

• 5^6 / 5^2 = 5^(6-2) = 5^4
• (-7)^8 / (-7)^4 = (-7)^(8-4) = (-7)^4
• (2/5)^3 / (2/5)^2 = (2/5)^(3-2) = (2/5)^1

Ley 5: Potencia de una potencia

Elevar una potencia a otra potencia es igual a elevar la base a la multiplicación de los exponentes.

Ejemplo:

• (2^3)^4 = 2^(3*4) = 2^12
• ((-1/2)^2)^3 = (-1/2)^(2*3) = (-1/2)^6
• (3^2/4)^5 = (3^2)^5 / 4^5 = 3^(2*5) / 4^5

Ejemplos adicionales para copiar:

• Simplifica la expresión: (x^2 * y^3) * (x^4 * y^2) 

           Solución: (x^2 * x^4) * (y^3 * y^2) = x^(2+4) * y^(3+2) = x^6 * y^5

• Calcula el valor de la expresión: (2^5 / 2^3) * (3^2 / 3^4) 

           Solución: 2^(5-3) * 3^(2-4) = 2^2 * 3^-2 = 4 * (1/3^2) = 4 * (1/9) = 4/9

• Eleva la expresión (a^2 * b^3)^4 a la potencia 2. 

          Solución: ((a^2 * b^3)^4)^2 = (a^(24) * b^(34))^2 = a^8 * b^12

Recuerda:

• Las leyes de los exponentes solo se aplican a potencias con la misma base.
• Es importante utilizar paréntesis para indicar el orden de las operaciones cuando se manipulan expresiones con potencias.
• La comprensión y aplicación correcta de las leyes de los exponentes simplifica significativamente las expresiones matemáticas y facilita la resolución de problemas.

Recursos adicionales:

• https://es.khanacademy.org/math/cc-eighth-grade-math/cc-8th-numbers-operations/cc-8th-exponent-properties/e/powers-of-powers
• https://www.youtube.com/watch?v=ainnlQ_Owq8
• https://m.youtube.com/watch?v=-K0ZSm9lPeY

5 Ejercicios por cada Ley de los Exponentes

Ley 1: Potencia con exponente cero

1. Simplifica: 4^0 * 5^0
2. Evalúa: (-2)^0 * (3)^0
3. Calcula: (1/4)^0 * (2/3)^0

Ley 2: Potencia con exponente uno

1. Simplifica: (7^1)^2
2. Evalúa: (-5^1)^3
3. Calcula: (2/7)^1 * (4/9)^1

Ley 3: Producto de potencias con igual base

1. Simplifica: 2^4 * 2^6
2. Evalúa: (-3)^5 * (-3)^2
3. Calcula: (1/2)^3 * (1/2)^4

Ley 4: Cociente de potencias con igual base

1. Simplifica: 5^8 / 5^3
2. Evalúa: (-6)^10 / (-6)^4
3. Calcula: (2/3)^5 / (2/3)^2

Ley 5: Potencia de una potencia

1. Eleva: (3^2)^4 a la potencia 3.
2. Calcula: ((-2)^3)^2 * (-2)^5
3. Simplifica: (4^3/2)^2 * (2/4)^4

DIVISIÓN DE FRACCIONES

DIVISIÓN DE FRACCIONES

 ¿Qué es la división de fracciones?

La división de fracciones es una operación matemática que nos permite determinar cuántas veces una fracción está contenida en otra. En otras palabras, nos dice qué parte de una fracción representa otra fracción.

¿Cómo se divide una fracción?

Existen dos métodos principales para dividir fracciones:

1. Multiplicación en cruz:

Este método es el más común y se basa en la siguiente regla:

Para dividir dos fracciones, se multiplica el numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda, y el denominador de la primera fracción por el numerador de la segunda.

Por ejemplo, para dividir $\frac{1}{2}$ por $\frac{3}{4}$, se realiza la siguiente operación:

Invertir la segunda fracción:

Este método se basa en la siguiente propiedad:

Dividir por una fracción es lo mismo que multiplicar por su inversa.

La inversa de una fracción se obtiene intercambiando el numerador y el denominador.

Por ejemplo, para dividir $\frac{1}{2}$ por $\frac{3}{4}$, se puede invertir la segunda fracción y luego multiplicar:

¿Qué hay que tener en cuenta al dividir fracciones?

• El denominador de la segunda fracción no puede ser cero.
• Se pueden simplificar las fracciones antes de dividirlas.
• El resultado de la división de fracciones puede ser una fracción propia, impropia o un número entero.

Ejercicios:

OPERACIONES CON FRACCIONES (MULTIPLICACION Y DIVISIÓN)

VIDEOS DE MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES

 

Multiplicación de fracciones

Pasos:

1. Multiplica los numeradores.
2. Multiplica los denominadores.
3. Simplifica el resultado.

Ejemplo:

Multiplicamos $\frac{1}{3}$ por $\frac{2}{5}$.

1. Multiplicamos los numeradores: $1\times 2=2$.
2. Multiplicamos los denominadores: $3\times 5=15$.
3. Simplificamos el resultado: $\frac{2}{15}$.

Regla mnemotécnica:

• Producto se calcula multiplicando en Paralelo.

División de fracciones

Pasos:

1. Invierte la segunda fracción (multiplica por su recíproca).
2. Simplifica.
3. Multiplica como en la multiplicación de fracciones.

Ejemplo:

Dividimos $\frac{3}{4}$ por $\frac{1}{2}$.

1. Invertimos la segunda fracción: $\frac{1}{2}\times \frac{2}{1}=\frac{2}{1}$.
2. Simplificamos: $\frac{3}{4}\times \frac{2}{1}=\frac{3\times 2}{4\times 1}=\frac{6}{4}$.
3. Multiplicamos: $\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$.

Regla mnemotécnica:

• Cociente se calcula multiplicando en Cruz.

Ejercicios de multiplicación de fracciones

1. Multiplica $\frac{2}{3}$ por $\frac{1}{4}$.

2. Multiplica $\frac{5}{7}$ por $\frac{3}{8}$.

3. Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{4}{5}$.

4. Multiplica $\frac{3}{10}$ por $\frac{2}{9}$.

5. Multiplica $\frac{7}{6}$ por $\frac{1}{3}$.

6. Multiplica $\frac{4}{9}$ por $\frac{5}{8}$.

7. Multiplica $\frac{1}{5}$ por $\frac{3}{4}$.

8. Multiplica $\frac{2}{7}$ por $\frac{6}{11}$.

9. Multiplica $\frac{3}{8}$ por $\frac{9}{10}$.

10. Multiplica $\frac{5}{12}$ por $\frac{4}{3}$.

Ejercicios de división de fracciones

1. Divide $\frac{4}{5}$ por $\frac{1}{2}$.

2. Divide $\frac{3}{7}$ por $\frac{2}{3}$.

3. Divide $\frac{8}{9}$ por $\frac{4}{3}$.

4. Divide $\frac{5}{6}$ por $\frac{1}{5}$.

5. Divide $\frac{7}{10}$ por $\frac{2}{5}$.

6. Divide $\frac{9}{11}$ por $\frac{3}{4}$.

7. Divide $\frac{2}{3}$ por $\frac{5}{6}$.

8. Divide $\frac{6}{7}$ por $\frac{4}{9}$.

9. Divide $\frac{10}{11}$ por $\frac{5}{6}$.

10. Divide $\frac{3}{4}$ por $\frac{7}{8}$.