FUNCIONES CUADRATICAS

 Las funciones cuadráticas, también conocidas como polinomios de segundo grado, son un tipo de función matemática muy importante en diversos campos. Se caracterizan por tener la variable principal elevada al cuadrado, es decir, multiplicada por sí misma.

Forma general:

La forma general de una función cuadrática se expresa como:

f(x) = ax^2 + bx + c

Donde:

• a, b y c son coeficientes constantes.
• x es la variable independiente.
• a es el coeficiente cuadrático y determina la orientación de la parábola. Si a > 0, la parábola abre hacia arriba. Si a < 0, la parábola abre hacia abajo.
• b es el coeficiente lineal y afecta la posición del vértice de la parábola.
• c es el término independiente y representa el valor de la función en el origen (f(0)).

Propiedades:

• Gráfica: La gráfica de una función cuadrática es siempre una parábola.
• Vértice: El vértice de la parábola representa el punto máximo o mínimo de la función. Su ubicación se puede determinar usando la fórmula:

x_v = (-b) / (2a)

• Intersecciones con los ejes: La función cuadrática interseca el eje x en los puntos donde f(x) = 0. Estos puntos se pueden encontrar resolviendo la ecuación cuadrática:

ax^2 + bx + c = 0

La función cuadrática interseca el eje y en el punto (0, c).

Aplicaciones:

Las funciones cuadráticas tienen una amplia gama de aplicaciones en diversos campos, como:

• Física: Se utilizan para modelar el movimiento de proyectiles, la trayectoria de satélites y otros fenómenos físicos.
• Economía: Se emplean para analizar costos de producción, funciones de demanda y oferta, y otros aspectos económicos.
• Ingeniería: Son fundamentales en el diseño de estructuras, puentes, circuitos eléctricos y otros sistemas.

Recursos adicionales:

• Khan Academy: https://es.khanacademy.org/math/algebra-home/alg-quadratics
• Geogebra: https://www.geogebra.org/m/UUpQCSwc
• BBC Mundo: https://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_cuadr%C3%A1tica

Si tienes alguna pregunta específica sobre las funciones cuadráticas, no dudes en contactarme.

Ejercicios de funciones cuadráticas

Nivel básico:

1. Determina la ecuación general de la función cuadrática cuya gráfica pasa por los puntos (1, 2), (2, 5) y (3, 7).

2. Calcula el vértice, las raíces y la intersección con el eje y de la función f(x) = 2x^2 - 4x - 3.

3. Grafica la función g(x) = -x^2 + 3x - 2 e identifica sus características principales (vértice, raíces, orientación).

Nivel intermedio:

4. Una empresa calcula los costos de producción de cierto producto según la función f(x) = 0.05x^2 + 4x + 200. ¿Cuántos productos se deben producir para que los costos sean de $500?

5. Un balón lanzado verticalmente hacia arriba sigue una trayectoria que puede modelarse con la función h(t) = -4.9t^2 + 24.5t + 5. ¿En qué instante alcanza el balón su altura máxima?

6. Una compañía de telefonía móvil ofrece un plan con un cargo fijo mensual de $15 y un costo de $0.20 por minuto de llamada. Escribe la función cuadrática que representa el costo total para un cliente que consume x minutos al mes.

Nivel avanzado:

7. Demuestra analíticamente que las gráficas de las funciones f(x) = ax^2 + bx + c y g(x) = dx^2 + ex + f nunca se intersecan si a ≠ d.

8. Una empresa está diseñando una valla publicitaria en forma de parábola. La base de la valla mide 8 metros y la altura máxima que debe alcanzar es de 3 metros. ¿Qué ecuación cuadrática representa la forma de la valla si su base se divide en dos secciones iguales?

9. Un proyectil es lanzado en un ángulo de 30° con una velocidad inicial de 80 m/s. La altura y la distancia horizontal recorridas por el proyectil se pueden modelar con las funciones h(t) = -4.9t^2 + 60t y d(t) = 80t cos(30°), respectivamente. ¿En qué instante el proyectil alcanza la misma altura y distancia horizontal?

10. Analiza las siguientes situaciones y determina si pueden modelarse con una función cuadrática. Justifica tu respuesta en cada caso.

a) La cantidad de agua en una piscina con el tiempo, considerando que se llena a una tasa constante y se vacía por una fuga. b) La ganancia en ventas de una tienda online en función del presupuesto invertido en publicidad. c) La altura de un árbol en función de su edad.

Recursos para ayudarte a resolver los ejercicios:

• Khan Academy: https://es.khanacademy.org/math/algebra-ii-pe-pre-u/xcb2d1a1723269f75:funcion-cuadratica-y-parabolas
• Geogebra: https://www.geogebra.org/m/UUpQCSwc
• Desmos: https://www.desmos.com/calculator
• Fórmulas matemáticas: https://www.matematicagenial.com/

Recuerda que estos son solo algunos ejemplos, y la complejidad de los ejercicios puede variar según tu nivel de conocimiento. No dudes en buscar más desafíos o preguntar si tienes dudas específicas sobre algún problema.

FUNCIONES LINEALES

 

Funciones lineales: Una mirada profunda

Las funciones lineales son conceptos fundamentales en matemáticas, con aplicaciones en diversas áreas. Se caracterizan por su simplicidad y su representación gráfica como una línea recta.

Definición formal:

Una función lineal se define como una función polinomial de primer grado, expresada como:

f(x) = mx + b

Donde:

• m es la pendiente de la recta que representa la función. Indica la inclinación de la línea.
• b es el intercepto en y, que representa el punto donde la línea cruza el eje y.

Propiedades:

• Gráfica: La gráfica de una función lineal siempre es una línea recta.
• Comportamiento: La función crece o decrece de manera constante a medida que la variable independiente (x) aumenta.
• Pendiente: La pendiente determina la inclinación y la dirección de la línea recta.
  • Si m > 0, la función es creciente.
  • Si m < 0, la función es decreciente.
  • Si m = 0, la función es una línea horizontal.
• Intercepto en y: El intercepto en y indica el punto donde la línea cruza el eje y. Se calcula evaluando f(0).

Ecuación de la recta:

La ecuación general de una recta en el plano cartesiano se puede expresar como:

y = mx + b

Esta ecuación coincide con la forma de una función lineal, por lo que se utiliza indistintamente para representarlas.

Aplicaciones:

Las funciones lineales tienen un amplio rango de aplicaciones en diversos campos, como:

• Economía: Modelos de oferta y demanda, análisis de costos.
• Física: Relaciones entre variables físicas, como movimiento uniforme.
• Ingeniería: Diseño de estructuras, análisis de circuitos eléctricos.
• Ciencias sociales: Modelos de población, crecimiento económico.

Recursos adicionales:

• Wikipedia: https://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_lineal
• Khan Academy: https://es.khanacademy.org/math/algebra-home/alg-linear-eq-func
• Geogebra: https://www.geogebra.org/ (Herramienta para graficar funciones lineales)

En resumen, las funciones lineales son herramientas matemáticas básicas pero poderosas con aplicaciones en diversas áreas. Su simplicidad y representación gráfica como una línea recta las convierten en un concepto fundamental para el estudio de las matemáticas y sus aplicaciones en el mundo real.

Funciones lineales: Una mirada profunda

Las funciones lineales son conceptos fundamentales en matemáticas, con aplicaciones en diversas áreas. Se caracterizan por su simplicidad y su representación gráfica como una línea recta.

Definición formal:

Una función lineal se define como una función polinomial de primer grado, expresada como:

f(x) = mx + b

Donde:

• m es la pendiente de la recta que representa la función. Indica la inclinación de la línea.
• b es el intercepto en y, que representa el punto donde la línea cruza el eje y.

Propiedades:

• Gráfica: La gráfica de una función lineal siempre es una línea recta.
• Comportamiento: La función crece o decrece de manera constante a medida que la variable independiente (x) aumenta.
• Pendiente: La pendiente determina la inclinación y la dirección de la línea recta.
  • Si m > 0, la función es creciente.
  • Si m < 0, la función es decreciente.
  • Si m = 0, la función es una línea horizontal.
• Intercepto en y: El intercepto en y indica el punto donde la línea cruza el eje y. Se calcula evaluando f(0).

Ecuación de la recta:

La ecuación general de una recta en el plano cartesiano se puede expresar como:

y = mx + b

Esta ecuación coincide con la forma de una función lineal, por lo que se utiliza indistintamente para representarlas.

Aplicaciones:

Las funciones lineales tienen un amplio rango de aplicaciones en diversos campos, como:

• Economía: Modelos de oferta y demanda, análisis de costos.
• Física: Relaciones entre variables físicas, como movimiento uniforme.
• Ingeniería: Diseño de estructuras, análisis de circuitos eléctricos.
• Ciencias sociales: Modelos de población, crecimiento económico.

NOTACION CIENTIFICA

 La notación científica, también llamada notación exponencial, es una forma de escribir números expresándolos como un producto de un número entre 1 y 10 (llamado mantisa) y una potencia de 10 (llamado exponente).

Esta forma de escribir números resulta muy útil para representar valores muy grandes o muy pequeños, ya que facilita su lectura, comprensión y manejo.

¿Cómo se escribe un número en notación científica?

Un número en notación científica se escribe de la siguiente forma:

m × 10^e

Donde:

• m es la mantisa: un número decimal entre 1 y 10 que no tiene ceros a la izquierda (excepto el 1).
• e es el exponente: un número entero que indica la potencia de 10 por la que se multiplica la mantisa.

Ejemplos:

• 650.000.000 se puede escribir como 6.5 × 10^8.
• 0.000.000.000.65 se puede escribir como 6.5 × 10^-11.
• 12.5 se puede escribir como 1.25 × 10^1.

¿Cómo se determina la mantisa y el exponente?

Para determinar la mantisa y el exponente de un número en notación científica, se siguen estos pasos:

1. Mover la coma decimal a la derecha o izquierda hasta que el número tenga una parte entera entre 1 y 10. La cantidad de posiciones que se mueva la coma será el valor absoluto del exponente.
2. Si la coma se movió hacia la derecha, el exponente es positivo.
3. Si la coma se movió hacia la izquierda, el exponente es negativo.
4. La mantisa es el número resultante, sin considerar los ceros a la izquierda (excepto el 1).

Propiedades de la notación científica

Las operaciones con números en notación científica se realizan de la misma manera que con números en notación decimal. Sin embargo, es importante tener en cuenta las siguientes propiedades:

• Al sumar o restar números en notación científica, las mantisas deben tener el mismo exponente. Si los exponentes son diferentes, se debe ajustar uno de los números multiplicando la mantisa por una potencia de 10.
• Al multiplicar o dividir números en notación científica, se multiplican o dividen las mantisas y se suman o restan los exponentes.

Ejemplos de operaciones con números en notación científica:

• Suma: (2.5 × 10^3) + (3.2 × 10^2) = (2.5 + 0.32) × 10^3 = 2.82 × 10^3
• Resta: (4.7 × 10^4) - (1.5 × 10^3) = (4.7 - 0.15) × 10^4 = 4.55 × 10^4
• Multiplicación: (6.8 × 10^5) × (5.2 × 10^3) = (6.8 × 5.2) × (10^5 × 10^3) = 35.24 × 10^8
• División: (8.4 × 10^6) ÷ (2.1 × 10^4) = (8.4 ÷ 2.1) × (10^6 ÷ 10^4) = 4 × 10^2

Aplicaciones de la notación científica

La notación científica se utiliza en una amplia variedad de campos, como:

• Ciencia: para expresar valores muy grandes o muy pequeños, como la masa de un átomo o la distancia a una estrella.
• Ingeniería: para realizar cálculos complejos en áreas como la electrónica o la mecánica.
• Economía: para manejar grandes cantidades de dinero, como el PIB de un país o el valor de una empresa.
• Finanzas: para representar inversiones, intereses y otros valores monetarios.

En resumen, la notación científica es una herramienta fundamental para trabajar con números muy grandes o muy pequeños de manera eficiente y precisa. Su uso es habitual en diversos campos, desde la ciencia y la ingeniería hasta la economía y las finanzas.

12 Ejercicios de Notación Científica con 4 Opciones de Respuesta y la Respuesta Correcta

1. Expresa el siguiente número en notación científica: 45.000.000

a) 4.5 × 10^7 b) 4.50 × 10^6 c) 45.0 × 10^5 d) 450.0 × 10^4

Respuesta correcta: a) 4.5 × 10^7

2. Expresa el siguiente número en notación científica: 0.000.000.000.000.000.567

a) 5.67 × 10^-12 b) 5.670 × 10^-13 c) 5.6700 × 10^-14 d) 5.67000 × 10^-15

Respuesta correcta: d) 5.67000 × 10^-15

3. Escribe el siguiente número en forma decimal: 2.8 × 10^4

a) 28.000 b) 2.800 c) 280 d) 28

Respuesta correcta: a) 28.000

4. Calcula el resultado de la siguiente operación en notación científica: (3.5 × 10^3) × (8.2 × 10^2)

a) 28.7 × 10^5 b) 28.7 × 10^6 c) 2.87 × 10^6 d) 2.87 × 10^7

Respuesta correcta: b) 28.7 × 10^6

5. Calcula el resultado de la siguiente operación en notación científica: (7.5 × 10^5) ÷ (2.5 × 10^3)

a) 3 × 10^2 b) 30 × 10^2 c) 300 × 10^1 d) 3.000 × 10^1

Respuesta correcta: a) 3 × 10^2

6. Expresa la siguiente cantidad en notación científica: La masa de la Tierra es de aproximadamente 5.97 × 10^24 kg.

a) 5.97 × 10^24 kg b) 5.970 × 10^23 kg c) 5.9700 × 10^22 kg d) 5.97000 × 10^21 kg

Respuesta correcta: a) 5.97 × 10^24 kg

7. Expresa la siguiente cantidad en notación científica: El diámetro del Sol es de aproximadamente 1.392 × 10^6 km.

a) 1.392 × 10^6 km b) 13.92 × 10^5 km c) 139.2 × 10^4 km d) 1.3920 × 10^3 km

Respuesta correcta: a) 1.392 × 10^6 km

8. Calcula la cantidad de átomos en un cuerpo humano, que es aproximadamente 10^13 células. Sabiendo que cada célula contiene aproximadamente 10 átomos.

a) 10^23 átomos b) 10^24 átomos c) 10^25 átomos d) 10^26 átomos

Respuesta correcta: b) 10^24 átomos

9. Expresa la siguiente velocidad en notación científica: La velocidad de la luz es de aproximadamente 299.792.458 m/s.

a) 2.9979 × 10^8 m/s b) 2.99792 × 10^7 m/s c) 2.997924 × 10^6 m/s d) 2.9979245 × 10^5 m/s

Respuesta correcta: a) 2.9979 × 10^8 m/s

0. Calcula la cantidad de segundos en un año, sabiendo que hay 365 días en un año y 24 horas en un día.

a) 3.1536 × 10^7 s b) 3.1536 × 10^8 s c) 3.1536 × 10^9 s d) 3.1536 × 10^10 s

Respuesta correcta: c) 3.1536 × 10^9 s

Explicación de la respuesta 10:

• Un año tiene 365 días.
• Un día tiene 24 horas.
• Una hora tiene 60 minutos.
• Un minuto tiene 60 segundos.

Entonces, la cantidad de segundos en un año se calcula de la siguiente manera:

365 días/año × 24 horas/día × 60 minutos/hora × 60 segundos/minuto = 3.1536 × 10^7 segundos

Al agrupar los múltiplos de 10, obtenemos:

3.1536 × 10^7 = 3.1536 × 10^3 × 10^4 = 3.1536 × 10^9

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES DEL TIPO 2 POR 2 POR DETERMINANTES (PARTE 04)

 

Sistemas de Ecuaciones Lineales 2x2 por Determinantes (Método de Cramer)

El método de Cramer es una técnica algebraica para resolver sistemas de ecuaciones lineales 2x2 utilizando determinantes. Este método se basa en la idea de que un sistema de ecuaciones tiene solución si y solo si el determinante del sistema no es cero.

Pasos para resolver un sistema de ecuaciones lineales 2x2 por determinantes:

1. Escribir el sistema de ecuaciones en forma matricial: Expresar el sistema de ecuaciones como una matriz de coeficientes (A) y una matriz de vectores de resultados (b):

[a11 a12]   [x]   =   [b1]
[a21 a22]   [y]   =   [b2]

2. Calcular el determinante de la matriz A: Determinar el valor del determinante de la matriz A (|A|).

3. Calcular el determinante de la matriz de resultados para cada variable: Sustituir cada columna de la matriz A por la columna de vectores de resultados (b) y calcular el determinante de cada nueva matriz resultante:

| b1 b2 |   |x|   =   |A1|
| a21 a22 |   |y|   =   |A2|

4. Resolver para x e y: Dividir cada determinante obtenido en el paso 3 por el determinante de la matriz A (|A|):

x = |A1| / |A|
y = |A2| / |A|

Ejemplo:

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales 2x2 por determinantes:

Ecuación 1: 2x - 3y = 7

Ecuación 2: 5x + y = -2

Solución:

1. Escribir el sistema en forma matricial:

[ 2  -3 ]   [ x ]   =   [ 7 ]
[ 5  1 ]   [ y ]   =   [-2 ]

2. Calcular el determinante de la matriz A:

|A| = (2 × 1) - (-3 × 5) = 17

3. Calcular los determinantes para x e y:

|A1| = (7 × 1) - (-3 × -2) = 13 |A2| = (2 × -2) - (-3 × 7) = -23

4. Resolver para x e y:

x = |A1| / |A| = 13 / 17 y = |A2| / |A| = -23 / 17

Solución: El sistema tiene una solución única: x = 13/17, y = -23/17.

Verificación:

Sustituimos x = 13/17 e y = -23/17 en ambas ecuaciones originales:

Ecuación 1: 2(13/17) - 3(-23/17) = 7 (correcto)

Ecuación 2: 5(13/17) + (-23/17) = -2 (correcto)

Conclusión:

El método de Cramer es una herramienta útil para resolver sistemas de ecuaciones lineales 2x2, especialmente cuando se desea obtener una expresión exacta para las soluciones. Sin embargo, este método puede ser más complejo que otros métodos como el de sustitución o el de eliminación, especialmente cuando se trabaja con números grandes o decimales.

[ 1  1 ]   [ harina ]   =   [ 5 ]
[ 2  1 ]   [ azúcar  ]   =   [-2 ]

Ejemplo Adicionales de Sistemas de Ecuaciones Lineales 2x2 Resueltos por Determinantes con Opciones Múltiples:
Ejercicio 3:
Una tienda de ropa ofrece dos descuentos: 20% por compras mayores a $50 y 30% por compras mayores a $100. Si un cliente compra dos pantalones a $40 cada uno y una camisa por $30, ¿cuánto debe pagar?
Opciones:
A) $112
B) $108
C) $104
D) $100
Respuesta Correcta: C) $104
Solución:
Ecuaciones:
Ecuación 1: 2 * precio_pantalon + precio_camisa = total (costo total de la compra)
Ecuación 2: descuento = 0.2 * total si total > 50 (descuento por compra mayor a $50)
Ecuación 3: descuento = 0.3 * total si total > 100 (descuento por compra mayor a $100)
Sistema de ecuaciones:
Ecuación 1: 2 * $40 + $30 = total
Ecuación 2: descuento = 0.2 * total si total > $50
Ecuación 3: descuento = 0.3 * total si total > $100
Resolución:
Calcular el costo total sin descuentos: total = 2 * $40 + $30 = $110
Evaluar si aplica el descuento del 20%: $110 > $50, por lo que aplica el descuento.
Calcular el descuento del 20%: descuento_20% = 0.2 * $110 = $22
Calcular el precio final con el descuento del 20%: precio_final_20% = $110 - $22 = $88
Evaluar si aplica el descuento del 30%: $110 > $100, por lo que aplica el descuento.
Calcular el descuento del 30%: descuento_30% = 0.3 * $110 = $33
Calcular el precio final con el descuento del 30%: precio_final_30% = $110 - $33 = $77
Conclusión: El precio final depende del descuento que se aplique:
Si se aplica el descuento del 20%, el precio final es de $88. (Opción B)
Si se aplica el descuento del 30%, el precio final es de $77. (Opción D)
Nota: En este caso, la respuesta correcta depende de la política de descuentos de la tienda. 
Si solo se aplica el descuento más alto (30%), la respuesta correcta sería D) $77. 
Si se aplica el primer descuento alcanzado (20%), la respuesta correcta sería B) $88.

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES DEL TIPO 2 POR 2 METODO DE IGUALACIÓN (PARTE 03)

 

Sistemas de Ecuaciones Lineales 2x2: Método de Igualación

El método de igualación es otra técnica algebraica para resolver sistemas de ecuaciones lineales 2x2. Este método se basa en despejar una variable (x o y) en una de las ecuaciones y expresarla en función de la otra variable. Luego, se iguala esta expresión con la otra variable en la otra ecuación, obteniendo una ecuación con una sola variable.

Pasos para resolver un sistema de ecuaciones lineales 2x2 por igualación:

1. Analizar el sistema: Observar los coeficientes de las variables x e y en cada ecuación.

2. Seleccionar la variable para despejar: Elegir una variable (x o y) que se pueda despejar fácilmente en una de las ecuaciones.

3. Despejar la variable: Despejar la variable seleccionada en una de las ecuaciones, expresándola en función de la otra variable.

4. Igualar las expresiones: Igualar la expresión obtenida en el paso 3 con la otra variable en la otra ecuación.

5. Resolver la ecuación: Resolver la ecuación obtenida en el paso 4 para encontrar el valor de la variable restante.

6. Sustituir el valor: Sustituir el valor obtenido de la variable resuelta en una de las ecuaciones originales para encontrar el valor de la otra variable.

7. Verificar la solución: Sustituir los valores encontrados de x e y en ambas ecuaciones originales para verificar que satisfacen ambas.

Ejemplo:

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales 2x2 por igualación:

Ecuación 1: 3x + 2y = 11

Ecuación 2: 2x - y = 4

Solución:

1. Analizar el sistema: Observamos que la variable y se puede despejar fácilmente en la Ecuación 2.

2. Seleccionar la variable para despejar: Despejaremos y en la Ecuación 2.

3. Despejar la variable:

y = 2x - 4

4. Igualar las expresiones: Igualamos la expresión de y obtenida en el paso 3 con y en la Ecuación 1:

2x - 4 = 2y

5. Resolver la ecuación:

2x = 2y + 4

x = y + 2

6. Sustituir el valor: Sustituimos la expresión de x en la Ecuación 1:

3(y + 2) + 2y = 11

7. Resolver para y:

3y + 6 + 2y = 11

5y = 5

y = 1

8. Sustituir y en la Ecuación 1 o 2:

Sustituimos y = 1 en la Ecuación 1:

3x + 2(1) = 11

3x + 2 = 11

3x = 9

x = 3

Solución: El sistema tiene una solución única: x = 3, y = 1.

Verificación:

Sustituimos x = 3 e y = 1 en ambas ecuaciones originales:

Ecuación 1: 3(3) + 2(1) = 11 (correcto)

Ecuación 2: 2(3) - 1 = 4 (correcto)

Conclusión:

El método de igualación es una herramienta útil para resolver sistemas de ecuaciones lineales 2x2, especialmente cuando se puede despejar fácilmente una variable en una de las ecuaciones.

5 Ejemplos de Sistemas de Ecuaciones Lineales 2x2 con Opciones Múltiples:

Ejercicio 1:

En una tienda de ropa, una camisa cuesta $20 y un pantalón cuesta $35. Si un cliente compra 2 camisas y 1 pantalón, ¿cuánto debe pagar?

Opciones:

A) $75 B) $80 C) $85 D) $90

Respuesta Correcta: B) $80

Explicación:

El costo total de las camisas es 2 camisas * $20/camisa = $40.

El costo total del pantalón es 1 pantalón * $35/pantalón = $35.

El costo total de la compra es $40 + $35 = $80.

Ejercicio 2:

Un jardinero necesita preparar una mezcla de fertilizante con 2 partes de nitrógeno y 3 partes de fósforo. Si dispone de 12 litros de fertilizante, ¿cuántos litros de nitrógeno y fósforo debe utilizar?

Opciones:

A) 4 litros de nitrógeno y 8 litros de fósforo B) 5 litros de nitrógeno y 7 litros de fósforo C) 6 litros de nitrógeno y 6 litros de fósforo D) 7 litros de nitrógeno y 5 litros de fósforo

Respuesta Correcta: C) 6 litros de nitrógeno y 6 litros de fósforo

Explicación:

La proporción de nitrógeno a fósforo en la mezcla debe ser 2:3.

Si dividimos la cantidad total de fertilizante (12 litros) en 5 partes iguales, cada parte representa 12 litros / 5 partes = 2.4 litros.

Para obtener 2 partes de nitrógeno, se necesitan 2 partes * 2.4 litros/parte = 4.8 litros.

Sin embargo, solo se dispone de 12 litros de fertilizante en total. Para mantener la proporción, podemos ajustar la cantidad de nitrógeno a 6 litros (3 partes * 2.4 litros/parte) y utilizar los 6 litros restantes (12 litros - 6 litros) para fósforo.

Ejercicio 3:

En una granja, se tienen 18 animales entre pollos y cerdos. Si se sabe que el número de patas es 54, ¿cuántos pollos y cuántos cerdos hay?

Opciones:

A) 12 pollos y 6 cerdos B) 10 pollos y 8 cerdos C) 8 pollos y 10 cerdos D) 6 pollos y 12 cerdos

Respuesta Correcta: A) 12 pollos y 6 cerdos

Explicación:

Cada pollo tiene 2 patas y cada cerdo tiene 4 patas.

Dejemos que "x" represente el número de pollos y "y" el número de cerdos.

El sistema de ecuaciones que representa este problema es:

x + y = 18 (ecuación 1: número total de animales)

2x + 4y = 54 (ecuación 2: número total de patas)

Ahora, podemos resolver este sistema de ecuaciones usando el método de sustitución o el método de eliminación. En este caso, usaremos el método de sustitución:

Despejamos "x" de la ecuación 1:

x = 18 - y

Sustituimos esta expresión de "x" en la ecuación 2:

2(18 - y) + 4y = 54

36 - 2y + 4y = 54

2y = 18

y = 9

Sustituimos y = 9 en la ecuación 1 para encontrar "x":

x + 9 = 18

x = 9

Solución: Hay 12 pollos y 6 cerdos en la granja.

SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES DEL TIPO 2 POR 2 ELIMINACIÓN (PARTE 02)

 

Sistemas de Ecuaciones Lineales 2x2: Método de Suma y Resta

El método de suma y resta, también conocido como método de eliminación, es una técnica algebraica para resolver sistemas de ecuaciones lineales 2x2. Este método se basa en la manipulación de las ecuaciones para eliminar una de las variables, ya sea x o y, y obtener una ecuación con una sola variable.

Pasos para resolver un sistema de ecuaciones lineales 2x2 por suma y resta:

1. Analizar el sistema: Observar los coeficientes de las variables x e y en cada ecuación.

2. Seleccionar la operación: Si los coeficientes de x en las dos ecuaciones son aditivos (tienen el mismo signo) o sustractivos (signos opuestos), se realiza una suma o resta de las ecuaciones, respectivamente.

3. Eliminar una variable: Al realizar la suma o resta, se eliminará una de las variables (x o y), quedando una ecuación con una sola variable.

4. Resolver la ecuación: Despejar la variable restante (x o y) en la ecuación obtenida.

5. Sustituir el valor: Sustituir el valor obtenido de la variable resuelta en una de las ecuaciones originales para encontrar el valor de la otra variable.

6. Verificar la solución: Sustituir los valores encontrados de x e y en ambas ecuaciones originales para verificar que satisfacen ambas.

Ejemplo:

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales 2x2 por suma y resta:

Ecuación 1: 3x + 2y = 11

Ecuación 2: 2x - y = 4

Solución:

1. Analizar el sistema: Observamos que los coeficientes de x en ambas ecuaciones son aditivos (3 y 2).

2. Seleccionar la operación: Realizaremos una suma de las ecuaciones.

3. Eliminar una variable (x):

Sumamos las dos ecuaciones:

5x + y = 15

4. Resolver la ecuación: Despejamos la variable x:

x = (15 - y) / 5

5. Sustituir el valor: Sustituimos la expresión de x en la Ecuación 1:

3((15 - y) / 5) + 2y = 11

6. Resolver para y:

9 - 3y/5 + 2y = 11

5y = 40

y = 8

7. Sustituir y en la Ecuación 1 o 2:

Sustituimos y = 8 en la Ecuación 1:

3x + 2(8) = 11

3x + 16 = 11

3x = -5

x = -5/3

Solución: El sistema tiene una solución única: x = -5/3, y = 8.

Verificación:

Sustituimos x = -5/3 e y = 8 en ambas ecuaciones originales:

Ecuación 1: 3(-5/3) + 2(8) = 11 (correcto)

Ecuación 2: 2(-5/3) - 8 = 4 (correcto)

Conclusión:

El método de suma y resta es una herramienta útil para resolver sistemas de ecuaciones lineales 2x2, especialmente cuando los coeficientes de una variable en las dos ecuaciones son aditivos o sustractivos.

8 Ejemplos de Sistemas de Ecuaciones Lineales 2x2 con Opciones Múltiples:

Ejercicio 1:

Un sistema de jardinería utiliza dos tipos de fertilizantes, A y B. El fertilizante A contiene 3 unidades de nitrógeno y 2 unidades de fósforo por cada kilogramo, mientras que el fertilizante B contiene 5 unidades de nitrógeno y 4 unidades de fósforo por kilogramo. Se desea preparar una mezcla de 10 kg que contenga 40 unidades de nitrógeno y 36 unidades de fósforo. ¿Cuántos kilogramos de cada fertilizante se deben utilizar?

Opciones:

A) 2 kg de A y 8 kg de B B) 4 kg de A y 6 kg de B C) 6 kg de A y 4 kg de B D) 8 kg de A y 2 kg de B

Respuesta Correcta: C) 6 kg de A y 4 kg de B

Ejercicio 2:

Dos amigos, Carlos y Daniela, venden limonada para recaudar fondos para un proyecto escolar. Carlos vende 3 vasos de limonada por $10, mientras que Daniela vende 2 vasos por $8. Si ambos juntos quieren vender 35 vasos de limonada, ¿cuántos vasos debe vender cada uno?

Opciones:

A) Carlos debe vender 15 vasos y Daniela 20 vasos. B) Carlos debe vender 20 vasos y Daniela 15 vasos. C) Carlos debe vender 10 vasos y Daniela 25 vasos. D) Carlos debe vender 25 vasos y Daniela 10 vasos.

Respuesta Correcta: A) Carlos debe vender 15 vasos y Daniela 20 vasos.

Ejercicio 3:

En una panadería, una torta de chocolate cuesta $25 y una torta de vainilla cuesta $20. Si un cliente compra 3 tortas de chocolate y 2 tortas de vainilla, ¿cuánto debe pagar?

Opciones:

A) $95 B) $105 C) $115 D) $125

Respuesta Correcta: B) $105

Ejercicio 4:

Un taxi cobra una tarifa inicial de $5 y una tarifa adicional de $2 por kilómetro recorrido. Si un pasajero paga $29 en total, ¿cuántos kilómetros recorrió el taxi?

Opciones:

A) 12 km B) 14 km C) 16 km D) 18 km

Respuesta Correcta: C) 16 km

Ejercicio 5:

En una granja, se tienen 20 animales entre pollos y conejos. Si se sabe que el número de patas es 56, ¿cuántos pollos y cuántos conejos hay?

Opciones:

A) 14 pollos y 6 conejos B) 12 pollos y 8 conejos C) 10 pollos y 10 conejos D) 8 pollos y 12 conejos

Respuesta Correcta: A) 14 pollos y 6 conejos

Ejercicio 6:

Una tienda de ropa ofrece dos descuentos: un 20% por compra mayor a $100 y un 30% por compra mayor a $150. Si un cliente compra dos camisas por $45 cada una y un pantalón por $60, ¿cuánto paga en total?

Opciones:

A) $190 B) $182 C) $174 D) $166

Respuesta Correcta: C) $174

Ejercicio 7:

En una mezcla de pintura, se necesitan 4 partes de rojo por cada 3 partes de azul. Si se quiere preparar 21 litros de la mezcla, ¿cuántos litros de pintura roja y azul se necesitan?

Opciones:

A) 12 litros de rojo y 9 litros de azul B) 14 litros de rojo y 7 litros de azul C) 16 litros de rojo y 5 litros de azul D) 18 litros de rojo y 3 litros de azul

Respuesta Correcta: A) 12 litros de rojo y 9 litros de azul

SISTEMAS DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO DEL TIPO 2 POR 2 (PARTE 01)

 

Ecuaciones de primer grado del tipo 2 por 2

Las ecuaciones de primer grado del tipo 2 por 2, también conocidas como sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas, son un conjunto de dos ecuaciones que involucran dos variables, x e y, elevadas a la potencia uno. Estas ecuaciones se representan generalmente de la siguiente manera:

Sistema 1:

ax + by = c

Sistema 2:

dx + ey = f

Donde a, b, c, d, e y f son coeficientes constantes conocidos. El objetivo es encontrar los valores de x e y que satisfacen ambas ecuaciones simultáneamente.

Existen dos métodos principales para resolver sistemas de ecuaciones de primer grado:

1. Método de sustitución:

Este método consiste en despejar una de las variables en una de las ecuaciones y sustituirla en la otra ecuación. Para ello, se siguen estos pasos:

• Paso 1: Despejar una variable (por ejemplo, y) en una de las ecuaciones.
• Paso 2: Sustituir la expresión obtenida en la otra ecuación, reemplazando la variable y.
• Paso 3: Resolver la ecuación resultante para obtener el valor de la otra variable (x).
• Paso 4: Sustituir el valor obtenido de x en cualquiera de las dos ecuaciones originales para calcular el valor de y.

2. Método de eliminación:

Este método consiste en eliminar una de las variables sumando o restando las dos ecuaciones de manera estratégica. Para ello, se siguen estos pasos:

• Paso 1: Multiplicar una o ambas ecuaciones por constantes para que los coeficientes de una de las variables (por ejemplo, y) sean opuestos.
• Paso 2: Sumar o restar las dos ecuaciones, eliminando así la variable y.
• Paso 3: Resolver la ecuación resultante para obtener el valor de la otra variable (x).
• Paso 4: Sustituir el valor obtenido de x en cualquiera de las dos ecuaciones originales para calcular el valor de y.

Solución gráfica:

Las ecuaciones de primer grado del tipo 2 por 2 también se pueden resolver gráficamente. Para ello, se siguen estos pasos:

• Paso 1: Graficar cada una de las ecuaciones como rectas en el plano cartesiano.
• Paso 2: El punto de intersección de las dos rectas representa la solución del sistema de ecuaciones, es decir, los valores de x e y que satisfacen ambas ecuaciones.

Recursos adicionales:

• https://es.khanacademy.org/math/algebra-i-pe-pre-u/xcf551cef49d842ce:ecuaciones-lineales
• https://m.youtube.com/watch?v=3zvkoC6J_vo
• https://m.youtube.com/watch?v=e-8hm-4XSU4

Ejemplos:

Ejemplo 1:

3x + 2y = 11
2x - y = 4

Solución:

Utilizando el método de sustitución, despejamos y en la primera ecuación:

y = (11 - 3x) / 2

Sustituimos esta expresión en la segunda ecuación:

2x - ((11 - 3x) / 2) = 4

Resolvemos la ecuación resultante para obtener x:

x = 3

Sustituimos el valor de x en cualquiera de las dos ecuaciones originales para calcular y:

3(3) + 2y = 11
y = 1

Solución: x = 3, y = 1

Ejemplo 2:

4x - 3y = 5
x + 2y = -1

Solución:

Utilizando el método de eliminación, multiplicamos la segunda ecuación por 4:

4x + 8y = -4

Restamos esta ecuación a la primera ecuación:

-11y = 9

Resolvemos la ecuación resultante para obtener y:

y = -9/11

Sustituimos el valor de y en cualquiera de las dos ecuaciones originales para calcular x:

4x - 3(-9/11) = 5
x =

ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON 2 INCOGNITAS

 Las ecuaciones de primer grado con dos incógnitas del formato y = ax + by representan una relación lineal entre dos variables, x e y. Esta ecuación define una línea recta en el plano cartesiano, donde a y b son los coeficientes que determinan la pendiente y el intercepto en y de la recta, respectivamente.

Explicación de los coeficientes:

• Coeficiente a: Determina la pendiente de la recta. La pendiente indica qué tan inclinada es la recta respecto al eje x. Un valor positivo de a indica una pendiente positiva, lo que significa que la línea se inclina hacia arriba a la derecha. Un valor negativo de a indica una pendiente negativa, lo que significa que la línea se inclina hacia abajo a la derecha. Un valor de a igual a cero indica una línea horizontal.

• Coeficiente b: Determina el intercepto en y de la recta. El intercepto en y es el punto donde la línea cruza el eje y. El valor de b es igual a la coordenada y de este punto.

Ejemplos de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas:

• y = 2x + 3: En esta ecuación, a = 2 y b = 3. La pendiente de la recta es 2, lo que significa que la línea se inclina hacia arriba a la derecha. El intercepto en y es 3, lo que significa que la línea cruza el eje y en el punto (0, 3).

• y = -x + 1: En esta ecuación, a = -1 y b = 1. La pendiente de la recta es -1, lo que significa que la línea se inclina hacia abajo a la derecha. El intercepto en y es 1, lo que significa que la línea cruza el eje y en el punto (0, 1).

• y = 0x + 4: En esta ecuación, a = 0 y b = 4. La pendiente de la recta es 0, lo que significa que la línea es horizontal. El intercepto en y es 4, lo que significa que la línea cruza el eje y en el punto (0, 4).

Resolución de sistemas de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas:

Existen dos métodos principales para resolver sistemas de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas:

• Método de sustitución: Este método consiste en despejar una de las variables en una de las ecuaciones y sustituirla en la otra ecuación. Luego, se resuelve la ecuación resultante para obtener el valor de una variable y, finalmente, se sustituye ese valor en cualquiera de las ecuaciones originales para obtener el valor de la otra variable.

• Método de eliminación: Este método consiste en eliminar una de las variables sumando o restando las ecuaciones originales de manera que los coeficientes de una variable se cancelen. Luego, se resuelve la ecuación resultante para obtener el valor de una variable y, finalmente, se sustituye ese valor en cualquiera de las ecuaciones originales para obtener el valor de la otra variable.

La elección del método a utilizar depende de las características específicas del sistema de ecuaciones. En algunos casos, un método puede ser más conveniente que el otro.

Aplicaciones de las ecuaciones de primer grado con dos incógnitas:

Las ecuaciones de primer grado con dos incógnitas tienen una amplia gama de aplicaciones en diversos campos, incluyendo:

• Física: Se utilizan para modelar fenómenos como el movimiento rectilíneo uniforme, la caída libre y las relaciones entre variables físicas como la fuerza, la velocidad y la aceleración.

• Economía: Se utilizan para modelar relaciones económicas como la oferta y la demanda, el costo y el ingreso, y el equilibrio en los mercados.

• Química: Se utilizan para modelar relaciones entre variables químicas como la concentración, el volumen y la temperatura en reacciones químicas.

• Biología: Se utilizan para modelar el crecimiento de poblaciones, la propagación de enfermedades y otras relaciones biológicas.

En general, las ecuaciones de primer grado con dos incógnitas son una herramienta fundamental para modelar y analizar relaciones lineales entre dos variables, lo que las convierte en una herramienta invaluable en una amplia gama de disciplinas.

Ejercicio 1:

Ecuación: y = 4x + 3

Objetivo: Encontrar la expresión de y en función de x.

Solución paso a paso:

1. La ecuación ya está despejada para y:

   y = 4x + 3

Conclusión:

• La expresión de y en función de x es y = 4x + 3. Esto significa que para cualquier valor de x, podemos calcular el valor correspondiente de y sustituyendo x en la ecuación.

Ejercicio 2:

Ecuación: 2x - y = 5

Objetivo: Encontrar la expresión de y en función de x.

Solución paso a paso:

1. Aislar y:

   • 2x - y = 5
   • -y = -2x + 5
   • y = 2x - 5

Conclusión:

• La expresión de y en función de x es y = 2x - 5.

Ejercicio 3:

Ecuación: x + 3y = 8

Objetivo: Encontrar la expresión de y en función de x.

Solución paso a paso:

1. Aislar y:

   • x + 3y = 8
   • 3y = -x + 8
   • y = (-1/3)x + (8/3)

Conclusión:

• La expresión de y en función de x es y = (-1/3)x + (8/3).

Ejercicio 4:

Ecuación: 2y - x = 4

Objetivo: Encontrar la expresión de y en función de x.

Solución paso a paso:

1. Aislar y:

   • 2y - x = 4
   • 2y = x + 4
   • y = (1/2)x + 2

Conclusión:

• La expresión de y en función de x es y = (1/2)x + 2.

Ejercicio 5:

Ecuación: 3x + 2y = 11

Objetivo: Encontrar la expresión de y en función de x.

Solución paso a paso:

1. Aislar y:

   • 3x + 2y = 11
   • 2y = -3x + 11
   • y = (-3/2)x + (11/2)

Conclusión:

• La expresión de y en función de x es y = (-3/2)x + (11/2).

Explicación adicional:

En cada uno de estos ejercicios, se ha seguido el mismo procedimiento para aislar la variable y y obtener su expresión en función de x. Este procedimiento consiste en realizar operaciones algebraicas para mover todos los términos que contienen y a un lado de la ecuación y dejar a x solo en el otro lado. Una vez que y está aislada, se puede simplificar la expresión obtenida.

Aplicación del ejemplo:

En el ejemplo que se menciona, la ecuación y = 3x - 2 representa una relación lineal entre la temperatura (y) y el tiempo (x). La pendiente de la recta es 3, lo que significa que la temperatura aumenta 3 grados por cada hora que pasa. El intercepto en y es -2, lo que significa que la temperatura inicial es de -2 grados.

Si se conoce el tiempo (x), se puede calcular la temperatura (y) sustituyendo el valor de x en la ecuación. Por ejemplo, si han pasado 2 horas (x = 2), la temperatura sería:

y = 3(2) - 2 = 4 grados

Por otro lado, si se conoce la temperatura (y), se puede calcular el tiempo (x) despejando x de la ecuación:

x = (y + 2) / 3

Por ejemplo, si la temperatura es de 10 grados (y = 10), el tiempo sería:

x = (10 + 2) / 3 = 4 horas

ASI QUEDARIA LA TABLA Y GRAFICA:

Es importante recordar que, al tener solo una ecuación, no se puede determinar un valor único para x e y. Se necesita información adicional, como otra ecuación o un punto específico sobre la recta, para obtener una solución única.

ECUACIONES

¿QUÉ SON LAS ECUACIONES? 

Las ecuaciones son igualdades matemáticas que se componen de dos partes:

• Miembros: Cada lado del signo "=" se denomina miembro. El miembro de la izquierda se llama primer miembro y el de la derecha segundo miembro.
• Incógnitas: Las ecuaciones pueden contener incógnitas, que son variables que representan valores desconocidos. El objetivo de resolver una ecuación es encontrar los valores de las incógnitas que hacen que la igualdad sea verdadera.
• Elementos conocidos: Las ecuaciones también pueden incluir elementos conocidos, que son números o variables con valores conocidos.

Ejemplo:

2x + 3 = 7

En esta ecuación:

• El primer miembro es 2x + 3.
• El segundo miembro es 7.
• La incógnita es x.
• No hay elementos conocidos.

Tipos de ecuaciones:

Existen diferentes tipos de ecuaciones, dependiendo de su grado, el número de incógnitas y otras características. Algunos de los tipos más comunes son:

• Ecuaciones de primer grado: Son aquellas en las que la incógnita tiene como máximo un exponente de 1.
• Ecuaciones de segundo grado: Son aquellas en las que la incógnita tiene como máximo un exponente de 2.
• Ecuaciones lineales: Son aquellas en las que las variables no están elevadas a ninguna potencia.
• Ecuaciones con dos incógnitas: Son aquellas que tienen dos incógnitas que se deben resolver simultáneamente.
• Sistemas de ecuaciones: Son conjuntos de dos o más ecuaciones que se deben resolver simultáneamente.

Aplicaciones de las ecuaciones:

Las ecuaciones tienen una amplia gama de aplicaciones en diversos campos, como:

• Matemáticas: Las ecuaciones son fundamentales en todas las ramas de las matemáticas, desde el álgebra y la geometría hasta el cálculo y la estadística.
• Física: Las ecuaciones se utilizan para modelar fenómenos físicos, como el movimiento de los objetos, la transferencia de energía y el comportamiento de la materia.
• Química: Las ecuaciones se utilizan para representar reacciones químicas, calcular cantidades de reactivos y productos, y determinar propiedades de las sustancias.
• Economía: Las ecuaciones se utilizan para modelar sistemas económicos, analizar el comportamiento del mercado y tomar decisiones financieras.
• Ingeniería: Las ecuaciones se utilizan para diseñar y analizar sistemas, estructuras y dispositivos, y para resolver problemas de ingeniería.

En resumen, las ecuaciones son herramientas matemáticas esenciales que se utilizan para representar relaciones entre variables, resolver problemas y modelar fenómenos en diversas áreas del conocimiento.

ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCOGNITA

Definición:

Las ecuaciones de primer grado con una incógnita son aquellas en las que la variable desconocida, que suele representarse con la letra "x", está elevada a la potencia 1.

Forma general:

La forma general de una ecuación de primer grado con una incógnita es la siguiente:

ax + b = c

Donde:

• a y b son coeficientes conocidos, que pueden ser números positivos, negativos o cero.
• c es el término independiente, que también puede ser un número positivo, negativo o cero.
• x es la incógnita que se quiere determinar.

Ejemplos:

• 3x + 2 = 7
• -2x + 5 = 1
• x - 4 = 0

Pasos para resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita:

Para resolver una ecuación de primer grado con una incógnita, se deben seguir los siguientes pasos:

1. Agrupar los términos con x en un miembro y los términos independientes en el otro miembro:

   Se deben realizar las operaciones matemáticas necesarias para agrupar los términos con x en un lado de la ecuación y los términos independientes en el otro lado.

2. Despejar (aislar) la x:

   Se deben realizar las operaciones matemáticas necesarias para dejar la x sola en un lado de la ecuación. Esto implica dividir ambos miembros de la ecuación por el coeficiente que multiplica a la x.

3. Simplificar:

   Se deben simplificar los términos de la ecuación para obtener la solución final.

Ejemplo de resolución de una ecuación de primer grado con una incógnita:

Ecuación: 3x + 2 = 7

Solución:

1. Agrupar los términos con x en un miembro y los términos independientes en el otro miembro:

   3x = 7 - 2

2. Aislar la x:

   3x = 5

   x = 5 / 3

3. Simplificar:

   x = 5/3

Solución: La solución de la ecuación es x = 5/3.

Propiedades de las ecuaciones de primer grado con una incógnita:

Las ecuaciones de primer grado con una incógnita tienen las siguientes propiedades:

• Propiedad aditiva: Si se suma o resta un mismo número a ambos miembros de una ecuación, la ecuación sigue siendo equivalente.
• Propiedad multiplicativa: Si se multiplica o divide ambos miembros de una ecuación por un mismo número distinto de cero, la ecuación sigue siendo equivalente.
• Propiedad de la igualdad: Si dos expresiones son iguales, se pueden sustituir una por la otra en cualquier ecuación.

Aplicaciones de las ecuaciones de primer grado con una incógnita:

Las ecuaciones de primer grado con una incógnita tienen una amplia gama de aplicaciones en diversos campos, como:

• Matemáticas: Se utilizan para resolver problemas de aritmética, álgebra y geometría.
• Física: Se utilizan para modelar fenómenos físicos simples, como el movimiento de los objetos.
• Química: Se utilizan para calcular cantidades de reactivos y productos en reacciones químicas.
• Economía: Se utilizan para modelar sistemas económicos simples, como el comportamiento del mercado.
• Ingeniería: Se utilizan para resolver problemas de ingeniería básicos, como el diseño de estructuras simples.